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📑 In This Chapter Guide (Table of Contents)
1. ग्राफीय विधि से समीकरण हल (5 अंक फिक्स)
हल करें: 2x + y = 6 तथा 4x - 2y = 4
समीकरण 1 से: y = 6 - 2x
यदि x = 0, y = 6 ⟹ बिंदु A(0, 6)
यदि x = 2, y = 2 ⟹ बिंदु B(2, 2)
यदि x = 3, y = 0 ⟹ बिंदु C(3, 0)
समीकरण 2 से: 2y = 4x - 4 ⟹ y = 2x - 2
यदि x = 0, y = -2 ⟹ बिंदु P(0, -2)
यदि x = 1, y = 0 ⟹ बिंदु Q(1, 0)
यदि x = 2, y = 2 ⟹ बिंदु B(2, 2)
निष्कर्ष: दोनों रेखाएं एक-दूसरे को बिंदु B(2, 2) पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः अद्वितीय हल x = 2, y = 2 है।
2. वृत्त की स्पर्श रेखा प्रमेय (5 अंक)
प्रमेय: "वृत्त के किसी बाह्य बिंदु से खींची गई दो स्पर्श रेखाओं की लंबाइयां बराबर होती हैं।"
दिया है: केंद्र O वाले वृत्त के बाह्य बिंदु P से दो स्पर्श रेखाएं PQ और PR खींची गई हैं।
सिद्ध करना है: PQ = PR
रचना: OP, OQ और OR को मिलाया।
उपपत्ति: चूँकि स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है, अतः ∠OQP = ∠ORP = 90°.
अब समकोण त्रिभुजों ΔOQP और ΔORP में:
1. OQ = OR (एक ही वृत्त की त्रिज्याएं)
2. OP = OP (उभयनिष्ठ कर्ण)
3. ∠OQP = ∠ORP = 90° (समकोण)
अतः RHS सर्वांगसमता नियम से: ΔOQP ≅ ΔORP
CPCT द्वारा: PQ = PR (इति सिद्धम्)।
💡 Frequently Asked Questions (FAQ)
❓ बिहार बोर्ड गणित के 100 वस्तुनिष्ठ प्रश्नों में से कितने हल करने होते हैं?
बिहार बोर्ड गणित परीक्षा में कुल 100 वस्तुनिष्ठ (1 अंक वाले) प्रश्न होते हैं, जिनमें से परीक्षार्थियों को केवल किन्हीं 50 प्रश्नों के उत्तर OMR शीट पर भरने होते हैं।
❓ रचना (Constructions) वाले 5 अंक के प्रश्न में पूरे अंक कैसे प्राप्त करें?
हमेशा अच्छी तरह छीली हुई पेंसिल और परकार का उपयोग करें। रचना के सभी चाप और रेखाएं स्पष्ट व पतली होनी चाहिए तथा रचना के चरण (Steps of Construction) 4-5 स्पष्ट बिंदुओं में अवश्य लिखें।
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